wiki:GB11601/2013-04-23

確率論 第2週

確率P(E) 事象Eが起こる確率

  1. P(E)≥0, ∀E⊂Ω (Ωは必ず真である事象)
  2. P(Ω)=1 … Ωは全事象
  3. Ei ∩ Ej = null (i≠j) となる事象列 E1, E2, …… に対して、P(∪i=1Ei) = ∑i=1 P(Ei) (完全加法性)

これらを公理系として、以下が導き出せる。

P1. P(∅) = 0

Proof: 公理3において、E1 = S1 , Ei = ∅ (i≥2) のとき、

i=1Ei = S ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ …… = S
であるから、
P(∪i=1Ei) = P(S)
一方、公理3の右辺を見ると、
P(S) = P(S) + P(∅) + P(∅) + ……
すなわち 0 = P(∅) + P(∅) + ……
∅ ⊂ Ω であるから、公理1より P(∅) ≥ 0
よってP(∅) = 0

P2. Ei ∩ Ej = null (i≠j) となる事象列 E1, E2, …… , En に対して、P(∪ni=1Ei) = ∑ni=1 P(Ei) (有限加法性)

Proof:

P3.

P4.

P5.

P6.

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