== 確率論 第2週 == 確率P(E) 事象Eが起こる確率 1. P(E)>=0, ∀E⊂Ω (Ωは必ず真である事象) 2. P(Ω)=1 ... Ωは全事象 3. E,,i,, ∩ E,,j,, = null (i≠j) となる事象列 E,,1,,, E,,2,,, …… に対して、P(∪^∞^,,i=1,,E,,i,,) = ∑^∞^,,i=1,, P(E,,i,,) (完全加法性) これらを公理系として、以下が導き出せる。 P1. P(∅) = 0 Proof: 公理3において、E,,1,, = S,,1,, , E,,i,, = ∅ (i>=2) のとき、 \\   ∪^∞^,,i=1,,E,,i,, = S ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ …… = S \\ であるから、 \\ P(∪^∞^,,i=1,,E,,i,,) = P(S) \\ 一方、公理3の右辺を見ると、 \\ P(S) = P(S) + P(∅) + P(∅) + …… \\ すなわち 0 = P(∅) + P(∅) + …… \\ ∅ ⊂ Ω であるから、公理1より P(∅) >= 0 \\ よってP(∅) = 0 P2. E,,i,, ∩ E,,j,, = null (i≠j) となる事象列 E,,1,,, E,,2,,, …… , E,,n,, に対して、P(∪^n^,,i=1,,E,,i,,) = ∑^n^,,i=1,, P(E,,i,,) (有限加法性) Proof: P3. P4. P5. P6.