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確率論 第2週
確率P(E) 事象Eが起こる確率
- P(E)≥0, ∀E⊂Ω (Ωは必ず真である事象)
- P(Ω)=1 … Ωは全事象
- Ei ∩ Ej = null (i≠j) となる事象列に対して、P(∪∞i=1Ei) = ∑∞i=1 P(Ei)
これらを公理系として、以下が導き出せる。
P1. P(∅) = 0
Proof: 公理3において、E1 = S1 , Ei = ∅ (i≥2) のとき、
∪∞i=1Ei = S ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ …… = S
であるから、
P(∪∞i=1Ei) = P(S)
一方、公理3の右辺を見ると、
P(S) = P(S) + P(∅) + P(∅) + ……
すなわち 0 = P(∅) + P(∅) + ……
∅ ⊂ Ω であるから、公理1より P(∅) ≥ 0
よってP(∅) = 0