wiki:GB11601/2013-04-30

確率論 第3週

条件付き確率

P(E|F) …… E given F (Fが与えられたうえでのEの条件付き確率)

2つの区別可能なfair diceの目をd1, d2とおく。 P(d1 + d2 = 6) = 5/36

なぜか?
d1 = range(1,6), d2 = range(1,6) の36通りが標本空間全体であり、それぞれの事象は均等な確率で発生するなかで、
(d1, d2) = (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) が該当するから。
条件付き確率
d1 = 4 だと決定されたとき、 (d1, d2) = (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) の6通りに発生しうる事象が絞れる。
このとき、4 + d2 = 6 であるd2は2なので、確率は1/6であり、もともとの5/36より確率は高くなる。
ベイズの定理
P(E|F) = Card(E∩F)/Card(F)
  • NOTE: Card(標本空間) = ∞ のときはこの議論は無理
上の例では、d1 + d2 = 6 かつ d1 = 4 は1つ。すなわちCard(E∩F)=1
d1 = 4 を集合Fとすると、Card(F) = 6
だからP(E|F) = 1/6

P(E|F) = P(E∩F)/P(F) であると定義する。

問1: ある家庭に2人の子供がいるとき、

(1) P(2人とも男子) = ¼

なぜなら: (年長者, 年少者) = (M, M), (F, M), (M, F), (F, F)のうち(M, M)が該当するから

(2) P(2人とも男子|1人は男子) = 1/3

1人は男子であるので、標本空間は (年長者, 年少者) = (M, M), (F, M), (M, F)の3通りに絞られる。
このうち2人とも男子であるのは1通りなので、P = 1/3と求められる。

(3) P(2人とも男子|年長者は男子) = ½

(年長者, 年少者) = (M, M), (M, F)
求める確率は1/2

このように、事象に関する情報が与えられると、確率は条件付きとなり、何も情報が与えられていないときから確率が変化する。


標本空間Ωがあり、Eという事象がいくらの確率で発生するか考えたい。

  • 場合分けをする
    • F1, F2, … , Fn という条件を定義する。
    • ni=1 P(E∩Fi) が求める確率 P(E) である。
    • P(E) = P(E|F1)P(F1) + P(E|F2)P(F2) + … + P(E|Fn)P(Fn)

Ω = ∪ni=1Fi
Fi∩Fj = Φ (i ≠ j)

このとき、P(E) = ∑ni=1P(E|Fi)P(Fi)
これを全確率の公式という。

条件付き確率は確率の公理を満たすか。

  • P(・|F)は公理を満たすことを証明せよ(練習問題)。
    • この公理を満たす系は確率であるし、そうでないものは確率ではない。
    • すべての確率は、条件付き確率として表せる。

EとFが独立 ⇔ P(E∩F) = P(E)P(F)
EとFが独立 ⇔ P(E|F) = P(E)

なぜなら: P(E|F) = P(E∩F)/P(F) = P(E)P(F)/P(F) = P(E)

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